根号2（迷人的 √2）

第二代(魅力√2)

每一个新的进步都必然表现为对神圣事物的亵渎。

马克思

(一)浑身是血的√2的诞生，让人扼腕叹息。

古希腊著名的毕达哥拉斯学派认为“万物皆有数”，世间万物(包括宇宙中的星辰)的属性都是由自然数之间的比例决定的。

所以这个学派的一个基本信条就是自然数和分数是一切的本质。然而，据说毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯动摇了这一信条。希帕索斯勤奋好学，善于观察、分析和思考。有一天，他研究了这个问题:“边长为1的正方形的对角线长度是多少？”根据毕达哥拉斯定理，他计算了根号2，发现根号2既不是整数，也不是整数的比值。他既高兴又困惑。按照老师的观点，根号2应该是不存在的，但是对角线是客观存在的，他无法解释。他告诉老师他的研究结果，并要求解释。

“什么？”毕达哥拉斯很惊讶。”有没有不是整数或者整数比的东西？”“是的！”希巴斯说:“我已经证明了！”Hibbas用反证法证明了√2不是两个整数之比。

希巴斯的论点极具逻辑性，无懈可击。毕达哥拉斯看完希巴斯的证明，默然不语，双手颤抖，额头上出现了汉珠。希巴斯急忙问:“老师，怎么了？我做错了吗？”

“你没有错！你们……你给我出去！”毕达哥拉斯神色异常，挥手让希巴斯出去。希巴斯不解地看着老师，走出了门。就在他要关门的时候，毕达哥拉斯突然喊道:“回来！”赫巴斯又走了回来。毕达哥拉斯用非常严肃的语气说:“你给我证明！不要告诉任何人这件事。这件事除了你我谁都不应该知道！”

“为什么？”“为什么不呢！这是我的规矩，好吗？”希巴斯怀疑地点点头，然后离开了。

为什么毕达哥拉斯在一个小√2出现的时候会吓到他？我们知道无理数是不能用分数表示的数。虽然当时毕达哥拉斯很有名，但我们对无理数一无所知。他早就宣布世界上只有一个整数或者整数比，但偏偏这样的数既不是整数也不是整数比。他怎么能不觉得尴尬呢？数学巨人毕达哥拉斯为了维护自己尊崇的信仰，保全自己的面子，对这类新数采取了“不承认”。他强迫希巴斯保守秘密，不要告诉任何人。他还在门徒中宣布:“谁泄漏，谁就被埋葬！”毕达哥拉斯害怕宣传会动摇他们整个毕达哥拉斯学派的基础。

但希巴斯是一个有思想的人，敢于坚持真理。他没有被权威吓倒，也没有放弃对真理的探索。只要有机会，他还是想宣传√2客观存在。希巴斯的观点与毕达哥拉斯截然相反。对此，毕达哥拉斯深恶痛绝，认为希巴斯造反，也是为了把他推倒，于是下令把希巴斯作为叛徒处死。听到这个消息，希巴斯跳上一艘新下水的海船逃走了。毕先生叫人开船追，追到海上，捉住了希巴斯。希巴斯辩称，他被毕的其他弟子拳打脚踢，被打得鼻青脸肿，最后被扔进海里。

毕达哥拉斯为了掩盖一件小事引起的矛盾，杀死了一个有才华的年轻人。公元500年，毕学派经历了这种数学思想的矛盾和冲突。被称为数学史上的第一次数学危机。第一次数学危机是数学史上的重要事件，由√2的发现引发，以无理数的定义结束。

此外，它还表明，一些新的数学知识、内容、理论和学科的发现，不仅需要自己的聪明才智，而且需要

付出生命的代价，所以老祖宗说√2是一个充满血腥味的数字。希巴斯为√2的诞生献出了自己宝贵的生命！在Hibbas第一次发现√2之后，人们又陆续发现了类似√2的数字。这些数字就是我们今天学习的无理数。无理数的发现进一步扩大了数的范围，迎来了数学发展的大进步！

这个结果既令人遗憾又令人鼓舞。正是这些伟大先行者的努力，成就了西方的学术自由和求真传统，最终诞生了以科技为主导的现代人类文明，造福全人类，造福全世界！

(B) √2独特应用彰显独特魅力

古希腊人不知道，2100多年后，中华文明发展到明朝时，数学家朱载堉做了一个双排八十一档的大算盘，算出了二至二十五位有效数字的十二根方子。他强大的计算能力可以让无理数在数学大家庭中占有一席之地。在此基础上，朱载堉发明了十二平均律，将音乐与数字的关系计算到更精细的尺度，形成了现代乐器制作的基础。

为什么朱载堉这么执着于2的药方？√2，这是中国文化中重要的审美基础。这可能源于春秋末期的墨子，晚于毕达哥拉斯。当时墨子手里拿着统一全世界的关键基础——每次张开手都能看到——不是尺子，而是十进制。

相比之下，古希腊的数字符号不仅不是十进制，也不是数值体系，所以不能作为数量符号进行运算。墨子是中国第一个总结和阐述数值体系的科学家。况且在墨子的时代，99-90乘法表就已经出现了。作为杰出的数学家、科学家、能工巧匠，不一定是墨子本人，但√2的美学基础很可能是他的学派发现的。这个美学基础是所有中国人都知道的概念:世界是圆的，地方也是圆的。

中国古代工匠对此并不担心。中国古代工匠用一个简单的整数比来处理:工匠有一个公式叫方五斜七。你什么意思？如果正方形的边长是5，对角线大约是7。我们知道√2等于1.414，对吧？7除以5等于1.4——非常接近。《创造法式风格》的作者李杰认为这太粗糙了。怎么会呢？他给了个141: 100，好很多，1.41，比较接近。这是中国工匠的智慧。

这个秘密在王楠的《调节方圆天地之和》一书中有所揭示，并找到了很多古建筑的实例，证明了1: √ 2的实际应用。王楠根据《营造法式》中的图文进行研究，该书引用了中国最古老的数学和天文著作《周经》。“凡事循规蹈矩，高手过招，但规矩已定”。周的“髭”是指天的盖子和地的棋盘。

我们来看看这种造型在中国古代建筑中的应用。我们也举一下上面提到的两个建筑:北幸殿和应县木塔，看看√2比例是怎么用在设计上的。

我们先来看看唐朝的建筑——北幸殿。如果你拿北高寺大殿的总高度作为边长做一个正方形，然后用它的对角线做一个圆弧，正好是它总宽度的一半。你看到了吗？我们也可以把这个做成一半对称。再做一个正方形，用对角线做一个圆弧，这一半就被盖住了。换句话说，如果总高度是1，总宽度是2√2，那么它的立面就是一个2√2的矩形。

我们再来看看北幸殿的平面。它的平面是一个背形。在后面的造型中，最重要的是中间的核心空，这里是空放佛像的房间。这个形状和之前一样，是由两个√2的长方形组成。换句话说，这个空的造型和立面差不多。

还没有，我们来到了北幸寺的核心，它的侧面。到这个时候，我们已经可以看到大雄宝殿里供奉的所有佛像。如果我们以中间最重要的佛像的高度为边长做一个正方形，然后用正方形的方圆图做它的外接圆。此时外接圆的直径等于多少？等于这个海湾中心的宽度。

换句话说，如果佛像的高度是1，那么中间的开间宽度就是√2。建筑是为这尊佛像量身定做的，两者的比例是√2。让我们来看看精确的计算机绘图的结果。这大概就是当时北幸殿的设计思路。

五台山北高寺东厅设计理念解析

如果这个黄色方块，也就是佛像的高度是1，那么中间的开间宽度就是√2。这个建筑的高度是4，然后它的宽度是4√2。就像帕台农神庙一样，北幸反复使用方圆从整体到部分，甚至到雕像的比例。可惜帕台农神庙里的神像不见了。不知道西方人有没有做到这种控制？

来应县木塔。应县木塔的总高度和它的一楼宽度有什么关系？如果宽度为1，则总高度为2√2。总高度和一楼最重要的佛像高度有什么关系？佛像高1，总高6。他们一直都是这样把建筑和佛像绑在一起的。我把这种为佛像量身打造建筑的方法称为“以像造屋”。

你还记得雅典帕台农神庙的柱子是神庙的长腿，总高和柱高都是黄金分割。应县木塔如何做到这一点？应县木塔是把总高度和顶柱以下的高度做成√2的比例，所以在这件事上，中国和西方是差不多的。

更有意思的在这里。如果我们同时看应县木塔和北斗寺，我们会被吓一跳。原来应县木塔和北寺的长宽比只是旋转了90度。县内穆盈塔宽度为1，高度为2√2，武科吉高度为1，宽度为2√2。转90度，塔变庙，庙变塔。

无限比例效应应用在寺庙大殿和佛像的长宽比上，就像佛教中须弥山藏在芥菜籽里一样。这样一个无理数引发了第一次数字危机。在中国深藏不露的古建筑，在日常办公环境中随处可见。虽然我们的认知系统还未能完全发现它的奥秘，但我们已经在逻辑上对数字和比例的奇妙达成了共识。一个更加先进统一的数值表达体系和算法，无疑有助于我们今天轻松超越毕达哥拉斯，不再对无理数视而不见。

应县木塔

其实《营造法式风情》这本书里有答案。在与“圆形广场上的方圆图形”的插图相匹配的文本中,《法式建筑》引用了一本更古老的书《周吉微积分》中的一段话。《周姬叔经》是中国最古老的数学和天文学著作。这段话很重要:“凡事循规蹈矩，师傅造，规则定。”

我们来看看这个传统在中国的圆地方有多长时间。据天文学家、考古学家冯先生介绍，早在5000年前的新石器时代，在辽宁牛河梁红山文化遗址神奇地发现了一组土墩和方墩。这恐怕是中国最早的天坛地坛了。

辽宁牛河梁红山文化遗址的土墩和方墩

这个土堆很像我现在站的位置。但它是由三个环组成的，这三个环的直径之比为1: √ 2: 2。就像刚才独乐寺的观音阁，就像方圆的圆图，所以它在中国文化中有着悠久的历史。

(三)A4纸的魔力

日常生活中，我们经常和A4纸打交道。这张纸的标准尺寸是:210毫米×297毫米。计算它的长宽比:297: 210 = 99: 70 ≈ 1.414，

如果你拿两张A4纸，沿着纸的长边把它们放在一起，你可以得到一张大纸。尺寸为:420mm× 297mm，然后算出它的长宽比:420: 297 ≈ 1.414。大纸和小纸的长宽比基本相同，都相当接近√2！这是巧合吗？

事实上，如果一张纸的理想长宽比是√ 2: 1，那么它会将其长宽比“遗传”给“下一代”。具体来说，一张大矩形纸的长宽比一开始是√ 2: 1，这样一张大纸沿其长边对折得到的小矩形纸的长宽比是√ 1: (√ 2/2)，保持√。

系列A纸，原纸为A0，尺寸为1189mm× 841mm。简单计算一下，它的面积接近1m2，长宽比非常接近√ 2: 1。将A0纸沿其长边对折，得到A1纸，尺寸为841mm× 594mm。A2纸可以通过A1纸同样的操作得到。其尺寸规格为:594mm× 420mm，以此类推，可以得到A系列纸A1，即原纸A0对折一次，A2，即原纸A0对折两次…那么，在实践中选择√ 2: 1长宽比的纸张有什么好处呢？

简单来说，使用具有这种性质的纸张作为备料，没有剩余的废边，可以避免浪费，从而降低复制成本，提高工作效率。简单的把A4纸的宽度对折，它的宽度和高度的比值永远是一个恒定值，也就是说，不管你怎么把它的宽度对折，它的比值都是恒定的。或许，人生也是一样，随着时间的流逝而折叠。无论我们跑多远，无论你在哪里，到最后，你总会发现，一切似乎都在原点。